CPE 332
Computer Engineering
Mathematics II
Week 3: Ch.2 Matrices
Continue(Linear Equations)
Ch.3 Eigenvector
• Part I Chapt. 2 Matrices
• Break
• Chapter 2: Linear Equations
• Homework 1: Due
• Homework 2 ส่งสัปดาห์หน ้า
• Last Week
– Matrix Concept and Notations
– Types of Matrix
– Concept of Determinant and Inverse
• This Week
– More on Determinant and Matrix
– System of Linear Equations: Homogeneous and Non-homogeneous
– Eigenvalue/Eigenvector Concept
Determinant
det(A) = A = ∑
i+
(−
j
)
1
a ⋅ Minor( a ) i, j
i, j
j =1
n
=
∑
j +
(−
l
)
1
a
⋅ Minor( a )
j , l
j , l
j =1
a
b
a = a,
= ad − bc
c
d
a
b
c
e
f
d
f
d
e
d
e
f = a
− b
+ c
j
k
i
k
i
j
i
j
k
= a( ek − jf ) − b( dk − if ) + c( dj − ie)
= aek-afi − bdk + bfi + cdj − cei, first row expand d
f
a
c
a
c
= b
−
+ e
− j
i
k
i
k
d
f
= b
− ( dk − if ) + e( ak − ic) − j( af − dc)
= bdk
−
+ bfi + aek − cei − afj + cdj, second column expand
คุณสมบัติของ Determinant
คุณสมบัติของ Determinant
det(A) = A = ∑
i+
(−
j
)
1
a ⋅ Minor( a ) i, j
i, j
Complexity = O(n!)
j =1
n
=
∑
j +
(−
l
)
1
a
⋅ Minor( a )
j , l
j , l
j =1
a
a
a
a
11
12
13
14
ถ ้าเราบวกลบ Column เพ่ือให ้ Element ในแถว(หรือคอลัมน์) a
a
a
a
21
22
23
24
ที่ต ้องการขยายเป็นศูนย์หมดยกเว ้น Element เดียว
a
a
a
a
เราจะลงเอยด ้วยการคํานวณหา Determinant ของ Matrix 31
32
33
34
ที่มีขนาดลดลงหนึ่ง
a
a
a
a
41
42
43
44
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
22
23
24
21
23
24
21
22
24
21
22
23
= a a
a
a
− a a
a
a
+ a a
a
a
− a a
a
a
11
32
33
34
12
31
33
34
13
31
32
34
14
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
42
43
44
41
43
44
41
42
44
41
42
43
การบวกลบดังกล่าวต ้องมีหลักการ มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต ้อง
เราจะใช ้คุณสมบัติข ้อ 9 และ 10 ของ Determinant เพื่อกระทําดังกล่าว
Algorithm การหา Determinant ที่
มีประสิทธิภาพ
• ใช ้คุณสมบัติข ้อ 10 ร่วมกับข ้อ 9 เพื่อสร ้างเป็น Algorithm
– 1. มองหา Element ใน Matrix ที่มีค่าเท่ากับ 1 ถ ้าหาไม่ได ้ เลือก
Element ใดก็ได ้ จากนั้นหารทั้งแถว หรือหารทั้ง Column ด ้วยค่า
ของ Element นั้นเพื่อทําให ้ค่าเป็น 1 ตัวเลขที่มาหารนั้นจะต ้อง
กลับนํามาคูณกับคําตอบที่ได ้ เป็นค่า Determinant ที่ต ้องการ
(คุณสมบัติข ้อ 9)
– 2. พิจารณาว่าจะ Expand แบบแถวหรือ Column ผ่าน Element ที่
เลือก จากนั้นกําจัด Element อื่นในแนวที่ Expand เป็นศูนย์ให ้
หมด(คุณสมบัติข ้อ 10) สมมุติเราเลือก Element a(x,y)
• ถ ้าจะ Expand แบบแถว ให ้บวกลบ Column อื่นกับ Column ที่
ผ่าน Element ที่เลือก เพื่อให ้ Element ในแถวที่จะ Expand เป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว ้น Element ที่เลือก
– Col(j) ใหม่ = Col(j) เก่า – a(x,j)*Col(y); j = 1,2,..,n ยกเว ้น y
• ถ ้าจะ Expand แบบ Column ให ้บวกลบแถวอื่นกับแถวที่ผ่าน
Element ที่เลือก เพื่อให ้ Element ใน Column ที่จะ Expand เป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว ้น Element ที่เลือก
– Row(i) ใหม่ = Row(i) เก่า – a(i,y)*Row(x); i = 1,2,..,n ยกเว ้น x
Algorithm การหา Determinant ที่
มีประสิทธิภาพ(ต่อ)
– 3.ทําการ Expand ตามสูตร เราจะลงเอยด ้วย
การหา Determinant ของ Matrix ที่มีขนาด
ลดลงหนึ่งเพียงครั้งเดียว
– 4. วิธีนี้สามารถทําเป็น Recursive เพื่อลดการ
หา Determinant ของ Matrix ขนาดใหญ่
เหลือแค่การหา Determinant ของ Matrix 2x2
หรือ 3x3
การหา Determinant
Column 3 Expansion
Or Row 2 Expansion
การหา Determinant
Inverse of Matrix
Inverse of Matrix
Inverse of Matrix
Inverse of Matrix
Inverse of Matrix
Matrix Norms
Norms
เรียก Spectral Radius ของ X
System of Linear Equations
System of Linear Equations
Reduced Matrix
Reduced Matrix
Reduced Matrix
Solutions of Homogeneous
Solutions of Homogeneous
Solutions of Homogeneous
Non-homogeneous Systems
Non-homogeneous Systems
Non-homogeneous Systems
Non-homogeneous Systems
Non-homogeneous Systems
Non-homogeneous Systems
Chapter 3 Intro
• Download HW 2 Due Next Week
– Chapter 1: Vector Operations
– Chapter 2: Linear Equations
• Next week: WK 4
– Eigenvalue/Eigenvector Continue
– MATLAB
– HW 3