Ch 2 Matrix

UTG

CPE 332

Computer Engineering

Mathematics II

Week 3: Ch.2 Matrices

Continue(Linear Equations)

Ch.3 Eigenvector

Today Topics

• Part I Chapt. 2 Matrices

• Break

• Chapter 2: Linear Equations

• Homework 1: Due

• Homework 2 ส่งสัปดาห์หน ้า

Chapter 2: Cont

• Last Week

– Matrix Concept and Notations

– Types of Matrix

– Concept of Determinant and Inverse

• This Week

– More on Determinant and Matrix

– System of Linear Equations: Homogeneous and Non-homogeneous

– Eigenvalue/Eigenvector Concept

Determinant

Calculation of Determinant n

det(A) = A = ∑

i+

(−

j

)

1

a Minor( a ) i, j

i, j

j =1

n

=

j +

(−

l

)

1

a

Minor( a )

j , l

j , l

j =1

a

b

a = a,

= ad bc

c

d

a

b

c

e

f

d

f

d

e

d

e

f = a

b

+ c

j

k

i

k

i

j

i

j

k

= a( ek jf ) − b( dk if ) + c( dj ie)

= aek-afi bdk + bfi + cdj cei, first row expand d

f

a

c

a

c

= b

+ e

j

i

k

i

k

d

f

= b

− ( dk if ) + e( ak ic) − j( af dc)

= bdk

+ bfi + aek cei afj + cdj, second column expand

คุณสมบัติของ Determinant

คุณสมบัติของ Determinant

Calculation of Determinant n

det(A) = A = ∑

i+

(−

j

)

1

a Minor( a ) i, j

i, j

Complexity = O(n!)

j =1

n

=

j +

(−

l

)

1

a

Minor( a )

j , l

j , l

j =1

a

a

a

a

11

12

13

14

ถ ้าเราบวกลบ Column เพ่ือให ้ Element ในแถว(หรือคอลัมน์) a

a

a

a

21

22

23

24

ที่ต ้องการขยายเป็นศูนย์หมดยกเว ้น Element เดียว

a

a

a

a

เราจะลงเอยด ้วยการคํานวณหา Determinant ของ Matrix 31

32

33

34

ที่มีขนาดลดลงหนึ่ง

a

a

a

a

41

42

43

44

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

22

23

24

21

23

24

21

22

24

21

22

23

= a a

a

a

a a

a

a

+ a a

a

a

a a

a

a

11

32

33

34

12

31

33

34

13

31

32

34

14

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

42

43

44

41

43

44

41

42

44

41

42

43

การบวกลบดังกล่าวต ้องมีหลักการ มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต ้อง

เราจะใช ้คุณสมบัติข ้อ 9 และ 10 ของ Determinant เพื่อกระทําดังกล่าว

Algorithm การหา Determinant ที่

มีประสิทธิภาพ

• ใช ้คุณสมบัติข ้อ 10 ร่วมกับข ้อ 9 เพื่อสร ้างเป็น Algorithm

– 1. มองหา Element ใน Matrix ที่มีค่าเท่ากับ 1 ถ ้าหาไม่ได ้ เลือก

Element ใดก็ได ้ จากนั้นหารทั้งแถว หรือหารทั้ง Column ด ้วยค่า

ของ Element นั้นเพื่อทําให ้ค่าเป็น 1 ตัวเลขที่มาหารนั้นจะต ้อง

กลับนํามาคูณกับคําตอบที่ได ้ เป็นค่า Determinant ที่ต ้องการ

(คุณสมบัติข ้อ 9)

– 2. พิจารณาว่าจะ Expand แบบแถวหรือ Column ผ่าน Element ที่

เลือก จากนั้นกําจัด Element อื่นในแนวที่ Expand เป็นศูนย์ให ้

หมด(คุณสมบัติข ้อ 10) สมมุติเราเลือก Element a(x,y)

• ถ ้าจะ Expand แบบแถว ให ้บวกลบ Column อื่นกับ Column ที่

ผ่าน Element ที่เลือก เพื่อให ้ Element ในแถวที่จะ Expand เป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว ้น Element ที่เลือก

– Col(j) ใหม่ = Col(j) เก่า – a(x,j)*Col(y); j = 1,2,..,n ยกเว ้น y

• ถ ้าจะ Expand แบบ Column ให ้บวกลบแถวอื่นกับแถวที่ผ่าน

Element ที่เลือก เพื่อให ้ Element ใน Column ที่จะ Expand เป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว ้น Element ที่เลือก

– Row(i) ใหม่ = Row(i) เก่า – a(i,y)*Row(x); i = 1,2,..,n ยกเว ้น x

Algorithm การหา Determinant ที่

มีประสิทธิภาพ(ต่อ)

– 3.ทําการ Expand ตามสูตร เราจะลงเอยด ้วย

การหา Determinant ของ Matrix ที่มีขนาด

ลดลงหนึ่งเพียงครั้งเดียว

– 4. วิธีนี้สามารถทําเป็น Recursive เพื่อลดการ

หา Determinant ของ Matrix ขนาดใหญ่

เหลือแค่การหา Determinant ของ Matrix 2x2

หรือ 3x3

การหา Determinant

Column 3 Expansion

Or Row 2 Expansion

การหา Determinant

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

สาธิตทดลอง Row Expansion

Matrix Norms

Norms

เรียก Spectral Radius ของ X

Break

System of Linear Equations

System of Linear Equations

Reduced Matrix

Reduced Matrix

Reduced Matrix

Solutions of Homogeneous

Solutions of Homogeneous

Solutions of Homogeneous

Non-homogeneous Systems

Non-homogeneous Systems

Non-homogeneous Systems

Non-homogeneous Systems

Non-homogeneous Systems

Non-homogeneous Systems

Chapter 3 Intro

MATLAB TUTORIAL

End of Week 3

• Download HW 2 Due Next Week

– Chapter 1: Vector Operations

– Chapter 2: Linear Equations

• Next week: WK 4

– Eigenvalue/Eigenvector Continue

– MATLAB

– HW 3

Table of contents

previous page start next page